Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Vous triez une fois un tableau de n éléments, puis répondez à k requêtes d'appartenance par recherche dichotomique. Quel est le coût total ?

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(k n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle technique donne au tri rapide un temps d'exécution espéré en O(n log n) pour toute entrée ?

  1. ATrier l'entrée avant d'exécuter le tri rapide
  2. BChoisir le pivot uniformément au hasard
  3. CN'utiliser la récursivité que sur la partie gauche
  4. DToujours choisir le premier élément
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une file circulaire stockée dans un tableau de capacité n, comment calcule-t-on la position suivant l'indice i ?

  1. A2i + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Structures de donnéesDifficile

Un objet est stocké comme clé dans une table de hachage (hash map), puis un champ utilisé par sa fonction de hachage est modifié. Quel est le résultat probable ?

  1. ALa table déplace automatiquement la clé dans son nouveau compartiment
  2. BLa recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
  3. CRien ne change, car le hachage d'une clé n'est calculé qu'une seule fois au démarrage du programme
  4. DLa table lève une erreur au moment où le champ change
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1819121397ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet D. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4.

départ : Dk = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n log n + k log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le tri coûte O(n log n) et chaque requête O(log n) ; cela bat k parcours linéaires (O(nk)) quand k est grand.

Réponse

C · O(n log n + k log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Choisir le pivot uniformément au hasard

Pourquoi c'est la réponse

Avec un pivot aléatoire, le temps d'exécution espéré est O(n log n) pour toute entrée ; les mauvais cas existent toujours, mais sont très improbables.

Réponse

B · Choisir le pivot uniformément au hasard
3.Structures de données

Réponse: B · (i + 1) mod n

Pourquoi c'est la réponse

L'opération modulo ramène l'indice n − 1 à 0, ce qui permet de réutiliser le tableau sans décaler les éléments.

Réponse

B · (i + 1) mod n
4.Structures de données

Réponse: B · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage

Pourquoi c'est la réponse

L'emplacement de la clé a été choisi à partir de son ancien hachage ; avec un nouveau hachage, les recherches examinent le mauvais compartiment, c'est pourquoi les clés devraient être immuables.

Réponse

B · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Sommets impairs

A, B, C, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: arête AB

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BD (1)
2. BE (7)
3. CE (3)
4. AB (18)

numéro de l’arête 4

AB

Réponse

arête AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms