Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme de Bellman-Ford sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour (j = i ; j ≤ n ; j = j + i) faire un travail O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n √n)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe sondage linéaire (linear probing)
  2. BLe double hachage (double hashing)
  3. CLe chaînage séparé (separate chaining)
  4. DLe sondage quadratique (quadratic probing)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure de données permet un cache LRU (least recently used) avec get et put en O(1) ?

  1. AUn unique tableau trié
  2. BUniquement une pile
  3. CUne table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
  4. DUniquement un arbre binaire de recherche
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K8 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K8
H =
6.Théorie des graphesDifficile
8142711978810ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(E) du plus court chemin de A à E dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : E
d(E) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(V × E)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V − 1 tours relâche les E arêtes, d'où O(VE) ; en contrepartie, il gère les poids d'arêtes négatifs.

Réponse

D · O(V × E)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le total vaut n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, et le nombre harmonique Hn est Θ(log n).

Réponse

A · O(n log n)
3.Structures de données

Réponse: C · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

C · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: C · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

La table de hachage trouve les nœuds en O(1) et la liste doublement chaînée déplace les éléments consultés vers l'avant et évince par l'arrière en O(1).

Réponse

C · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 2520

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Réponse

H = 2520
6.Théorie des graphes

Réponse: d(E) = 26

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8, C: 14
B (8): C: 10, D: 15, G: 16
C (10)
D (15): E: 26, F: 24
G (16)
F (24)
E (26)

Plus court chemin

A → B → D → E
d(E) = 26

Réponse

d(E) = 26

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