Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi de nombreuses routines de tri des bibliothèques passent-elles au tri par insertion pour les très petits sous-tableaux ?

ALe tri par insertion utilise moins de mémoire que tout autre algorithme de tri sur les grandes entrées
BLes algorithmes récursifs ne peuvent pas traiter les tableaux de moins de 10 éléments
CLe tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
DLe tri par insertion est en O(n log n) dans le pire cas

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi la recherche dichotomique ne s'exécute-t-elle pas en O(log n) sur une liste simplement chaînée ?

ALa recherche dichotomique nécessite au moins deux fois plus de mémoire
BAtteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
CLes listes chaînées ne peuvent pas être triées
DLes comparaisons sur les nœuds d'une liste chaînée sont plus lentes

3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps faut-il pour vérifier si l'arête (u, v) existe avec une matrice d'adjacence ?

AO(log V)
BO(1)
CO(E)
DO(V)

4.Structures de donnéesDifficile

Quelle affirmation sur le tri par tas (heapsort) est correcte ?

AIl nécessite un arbre binaire de recherche comme stockage supplémentaire, donc il utilise O(n) de mémoire en plus
BIl est stable et nécessite O(n) mémoire supplémentaire
CIl trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
DIl s'exécute en O(n) sur toute entrée

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₆ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₆

H =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 6 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 6

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées

Pourquoi c'est la réponse

Pour n petit, la simple boucle du tri par insertion bat le surcoût de récursion du tri rapide ou du tri fusion, bien qu'elle soit en O(n²).

Réponse

C · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

Pourquoi c'est la réponse

La recherche dichotomique nécessite un accès en O(1) au milieu ; sur une liste chaînée, s'y rendre coûte un temps linéaire, si bien que le total est O(n).

Réponse

B · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

3.Structures de données

Réponse: B · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La case à la ligne u, colonne v indique immédiatement si l'arête existe ; une liste d'adjacence peut nécessiter de parcourir les voisins de u.

Réponse

B · O(1)

4.Structures de données

Réponse: C · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable

Pourquoi c'est la réponse

Le tri par tas construit un tas max et extrait le maximum n fois dans le même tableau ; des échanges sur de longues distances peuvent réordonner des clés égales.

Réponse

C · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60

6.Théorie des graphes

Réponse: F

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 5, C: 15

2. B (5): D: 14, G: 9

3. G (9): E: 24

4. D (14): E: 20, F: 18

5. C (15)

6. F (18)

7. E (20)

tour 6

Réponse

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