Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour j = 1 à i : faire un travail O(1) ?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle affirmation concernant P et NP est correcte ?

  1. ANP signifie « non polynomial »
  2. BLes solutions des problèmes NP ne peuvent pas être vérifiées rapidement
  3. CTout problème de P appartient aussi à NP
  4. DIl a été démontré que P ≠ NP
3.Structures de donnéesMoyen

Quel type abstrait de données l'algorithme de Dijkstra utilise-t-il pour choisir le prochain sommet à traiter ?

  1. AUne file FIFO
  2. BUne pile
  3. CUn ensemble sans ordre
  4. DUne file de priorité min
4.Structures de donnéesDifficile

Vous devez conserver les k plus petites valeurs d'un flux de n nombres en utilisant O(k) mémoire. Quelle approche fonctionne en O(n log k) ?

  1. AUne file FIFO des k dernières valeurs
  2. BUn tableau trié de toutes les n valeurs
  3. CUn tas min contenant les n valeurs, dont on extrait les k plus petites à la fin
  4. DUn tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
14313196184ABCDE

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le corps intérieur s'exécute n(n + 1) / 2 fois au total, ce qui reste quadratique.

Réponse

B · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tout problème de P appartient aussi à NP

Pourquoi c'est la réponse

P ⊆ NP : si vous pouvez résoudre un problème rapidement, vous pouvez vérifier une solution rapidement. La question P = NP reste ouverte.

Réponse

C · Tout problème de P appartient aussi à NP
3.Structures de données

Réponse: D · Une file de priorité min

Pourquoi c'est la réponse

Une file de priorité min, généralement un tas binaire, renvoie efficacement le sommet non visité de plus petite distance.

Réponse

D · Une file de priorité min
4.Structures de données

Réponse: D · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive

Pourquoi c'est la réponse

La racine du tas max est la plus grande valeur conservée ; toute nouvelle valeur plus petite la remplace en O(log k), donc le tas contient toujours les k plus petites valeurs vues jusqu'ici.

Réponse

D · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

A, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AC (3)
2. BE (4)
3. CE (6)
4. DE (18)

numéro de l’arête 3

CE

Réponse

arête CE

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