Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Dans un tableau trié, vous cherchez deux éléments dont la somme vaut une cible en déplaçant un pointeur depuis chaque extrémité vers l'intérieur. Quelle est la complexité temporelle ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème de l'arrêt montre que :

  1. AIl faut éviter les boucles
  2. BAucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête
  3. CCertains programmes s'exécutent plus vite sur des ordinateurs plus rapides, donc l'arrêt dépend du matériel
  4. DTout programme finit par s'arrêter
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données utilise-t-on pour vérifier si les parenthèses de "{[()]}" sont équilibrées ?

  1. AUne table de hachage
  2. BUn arbre binaire de recherche
  3. CUne file
  4. DUne pile
4.Structures de donnéesDifficile

Que fait un arbre splay (splay tree) après chaque accès ?

  1. AIl reconstruit tout l'arbre sous forme équilibrée
  2. BIl fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
  3. CIl déplace le nœud accédé vers une feuille
  4. DIl recolorie les nœuds du chemin de recherche
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
1421514113315153ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Si la somme est trop petite, le pointeur gauche avance vers la droite ; si elle est trop grande, le pointeur droit recule vers la gauche : il y a donc au plus n étapes.

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Aucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête

Pourquoi c'est la réponse

Turing a montré que le problème de l'arrêt est indécidable : supposer qu'un décideur existe mène à une contradiction avec un programme qui fait l'inverse.

Réponse

B · Aucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête
3.Structures de données

Réponse: D · Une pile

Pourquoi c'est la réponse

On empile chaque symbole ouvrant et on dépile à chaque symbole fermant ; celui-ci doit correspondre au symbole dépilé, et la pile doit être vide à la fin.

Réponse

D · Une pile
4.Structures de données

Réponse: B · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

Pourquoi c'est la réponse

Le splaying déplace le nœud accédé vers la racine par des rotations ; une opération isolée peut coûter O(n), mais le coût amorti est O(log n).

Réponse

B · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Réponse

L = 10

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 16, D: 29, G: 17
3. C (16): E: 30
4. G (17): E: 20
5. E (20): D: 21
6. D (21): F: 34
7. F (34)

tour 5

E

Réponse

E

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