Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi une recherche dans une table de hachage est-elle en O(1) en moyenne mais en O(n) dans le pire cas ?

  1. ADe nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
  2. BL'accès aux tableaux est en O(n)
  3. CLes fonctions de hachage sont lentes
  4. DLes clés doivent d'abord être triées
3.Structures de donnéesMoyen

Comment fonctionne l'extraction du minimum (extract-min) dans un tas binaire min ?

  1. AOn retire le dernier élément du tableau
  2. BOn retire la racine et on décale tous les éléments d'une case vers la gauche
  3. COn déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
  4. DOn cherche le nouveau minimum parmi toutes les feuilles
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure de données permet un cache LRU (least recently used) avec get et put en O(1) ?

  1. AUniquement un arbre binaire de recherche
  2. BUne table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
  3. CUn unique tableau trié
  4. DUniquement une pile
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K6 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K6
H =
6.Théorie des graphesDifficile
131293171019208ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

Pourquoi c'est la réponse

Avec une bonne fonction de hachage et un facteur de charge adapté, les compartiments restent courts en moyenne ; un hachage malveillant ou médiocre peut placer toutes les clés dans un seul compartiment.

Réponse

A · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
3.Structures de données

Réponse: C · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre

Pourquoi c'est la réponse

Le dernier élément comble le trou à la racine et est échangé avec son plus petit enfant jusqu'à ce que la propriété de tas soit respectée, en O(log n).

Réponse

C · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
4.Structures de données

Réponse: B · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

La table de hachage trouve les nœuds en O(1) et la liste doublement chaînée déplace les éléments consultés vers l'avant et évince par l'arrière en O(1).

Réponse

B · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 61

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BD (3): prise
GE (8): prise
BC (9): prise
DE (10): prise
AC (12): prise
AB (13): sautée, ferme un cycle
CE (17): sautée, ferme un cycle
DF (19): prise

Poids total

W = 3 + 8 + 9 + 10 + 12 + 19 = 61

Réponse

W = 61

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