Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel énoncé sur une fonction récursive sans cas de base atteignable est correct ?

AElle renvoie automatiquement 0
BElle s'exécute en temps O(1)
CElle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
DLe compilateur la transforme toujours en une boucle qui se termine sans danger

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la notation petit o est correct ?

An = o(n²), mais n n'est pas o(n)
Bn = o(n), puisque toute fonction est un petit o d'elle-même
C2n = o(n), car 2n croît lentement
Dn² = o(n)

3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

ALes clés existantes sont triées sur place
BLes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
CUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
DSeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table

4.Structures de donnéesDifficile

L'algorithme de Kahn pour le tri topologique retire répétitivement les sommets de degré entrant 0. Quelle structure contient ces sommets ?

AUne pile de toutes les arêtes visitées
BUne file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0
CUne matrice d'adjacence indiquant quels sommets ont déjà été retirés
DUn tas max ordonné par degré sortant

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Sans cas de base, la récursion ne s'arrête jamais ; en pratique, la mémoire pour les cadres de pile s'épuise et le programme plante.

Réponse

C · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

Pourquoi c'est la réponse

f = o(g) signifie que f(n) / g(n) tend vers 0 ; n / n² tend vers 0, mais n / n = 1 non.

Réponse

A · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

3.Structures de données

Réponse: C · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

C · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

4.Structures de données

Réponse: B · Une file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0

Pourquoi c'est la réponse

Les sommets prêts sont conservés dans une file ; en retirer un diminue le degré entrant de ses voisins, et ceux qui atteignent 0 sont ajoutés, ce qui donne un temps en O(V + E).

Réponse

B · Une file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0

5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Sommets impairs

Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien

6.Théorie des graphes

Réponse: C

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 14, C: 15

2. B (14): D: 24, E: 29

3. C (15): E: 26

4. D (24): F: 30

5. E (26)

6. F (30)

tour 3

Réponse

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