Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

  1. AOui, mais seulement si n est inférieur à 100
  2. BNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction
  3. COui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
  4. DNon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
2.Algorithmes et complexitéDifficile

D'après le théorème maître, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) a pour solution :

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn le place à la racine et on le fait descendre
  2. BOn reconstruit entièrement le tas
  3. COn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
  4. DOn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de Fenwick (binary indexed tree) sur un tableau de n nombres permet quelles opérations en O(log n) ?

  1. ALe tri du tableau et la recherche dichotomique
  2. BLes requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
  3. CL'insertion d'éléments à n'importe quelle position
  4. DLa recherche de la médiane en O(1)
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 15 sommets et 18 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 15|E| = 18
k =
6.Théorie des graphesDifficile
319131521098ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

C · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n³)

Pourquoi c'est la réponse

log₂ 8 = 3, et n² croît plus lentement que n³, donc les feuilles dominent : Θ(n³).

Réponse

D · Θ(n³)
3.Structures de données

Réponse: D · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

D · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: B · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de Fenwick stocke des sommes partielles sur des intervalles déterminés par les bits de poids faible de chaque indice, donc les sommes préfixes comme les mises à jour ponctuelles prennent O(log n).

Réponse

B · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

15 − 1 = 14

Arêtes à retirer

k = 18 − 14 = 4

Réponse

k = 4
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 37

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

DE (2): prise
AC (3): prise
BE (8): prise
EF (9): prise
DF (10): sautée, ferme un cycle
BD (13): sautée, ferme un cycle
CE (15): prise

Poids total

W = 2 + 3 + 8 + 9 + 15 = 37

Réponse

W = 37

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