Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du tri rapide (quicksort) dans le pire cas ?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe P est correcte ?

ALes problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
BLes problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées mais jamais trouvées en temps polynomial
CLes problèmes qui demandent un temps exponentiel sur tout ordinateur
DLes problèmes qui peuvent être résolus en parallèle

3.Structures de donnéesMoyen

Un réseau routier compte 100,000 carrefours, chacun relié à environ 4 autres. Quelle représentation est la plus adaptée ?

AUne matrice d'adjacence
BUne liste d'adjacence
CUn unique tableau trié de sommets
DUn tas binaire d'arêtes

4.Structures de donnéesDifficile

Pour chaque élément d'un tableau, vous voulez le prochain élément plus grand à sa droite, en O(n) au total. Quelle structure aide ?

AUne table de hachage de tous les éléments
BUne file contenant toutes les paires d'éléments
CUne pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
DUn arbre binaire de recherche reconstruit pour chaque élément

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7

W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Avec des pivots systématiquement mauvais (par ex. une entrée déjà triée et le premier élément comme pivot), les partitions sont déséquilibrées, ce qui donne O(n²). Le cas moyen est O(n log n).

Réponse

A · O(n²)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

P contient les problèmes de décision admettant un algorithme déterministe en temps polynomial, comme vérifier si un graphe est connexe.

Réponse

A · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

3.Structures de données

Réponse: B · Une liste d'adjacence

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice nécessiterait 10¹⁰ cases, presque toutes vides ; une liste d'adjacence ne stocke qu'environ 400,000 entrées d'arêtes.

Réponse

B · Une liste d'adjacence

4.Structures de données

Réponse: C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

Pourquoi c'est la réponse

En parcourant de gauche à droite, on dépile chaque élément plus petit que l'élément courant (l'élément courant est leur réponse), puis on empile celui-ci ; chaque élément est déplacé au plus deux fois.

Réponse

C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Sommets impairs

A, B → 2

Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 31

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BE (2): prise

CE (6): prise

BC (8): sautée, ferme un cycle

AC (10): prise

BD (13): prise

Poids total

W = 2 + 6 + 10 + 13 = 31

Réponse

W = 31

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