Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi de nombreuses routines de tri des bibliothèques passent-elles au tri par insertion pour les très petits sous-tableaux ?

  1. ALes algorithmes récursifs ne peuvent pas traiter les tableaux de moins de 10 éléments
  2. BLe tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
  3. CLe tri par insertion utilise moins de mémoire que tout autre algorithme de tri sur les grandes entrées
  4. DLe tri par insertion est en O(n log n) dans le pire cas
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

  1. AToujours une couverture par sommets minimale
  2. BAu plus log n fois le minimum
  3. CDe qualité inconnue par rapport à l'optimum
  4. DAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
  2. BOn le place à la racine et on le fait descendre
  3. COn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
  4. DOn reconstruit entièrement le tas
4.Structures de donnéesDifficile

Sans union par rang ni compression de chemin, quel est le coût dans le pire cas d'une seule opération find dans une structure union-find à n éléments ?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(α(n))
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 18 sommets et 27 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 18|E| = 27
k =
6.Théorie des graphesDifficile
91068151335ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées

Pourquoi c'est la réponse

Pour n petit, la simple boucle du tri par insertion bat le surcoût de récursion du tri rapide ou du tri fusion, bien qu'elle soit en O(n²).

Réponse

B · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de données

Réponse: C · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

C · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Des unions naïves peuvent relier les arbres en une longue chaîne, donc find peut suivre n − 1 pointeurs vers le parent ; les deux heuristiques le rendent presque constant.

Réponse

B · O(n)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

18 − 1 = 17

Arêtes à retirer

k = 27 − 17 = 10

Réponse

k = 10
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 18

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 9, C: 10
B (9): D: 17
C (10): E: 25
D (17): F: 18, G: 20
F (18): E: 21
G (20)
E (21)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 18

Réponse

d(F) = 18

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