Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(n) a pour solution :

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle borne est correcte pour log(n!) ?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

  1. A2i + 1 et 2i + 2
  2. Bi + 1 et i + 2
  3. Ci/2 et i/2 + 1
  4. D2i et 2i + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Sans union par rang ni compression de chemin, quel est le coût dans le pire cas d'une seule opération find dans une structure union-find à n éléments ?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
10311415161412ABCDEF

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

D'après le théorème maître (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Réponse

A · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Θ(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

log(n!) ≤ n log n, et les n / 2 plus grands facteurs donnent log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) ; c'est pourquoi le tri par comparaisons nécessite Ω(n log n).

Réponse

C · Θ(n log n)
3.Structures de données

Réponse: A · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

A · 2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de données

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Des unions naïves peuvent relier les arbres en une longue chaîne, donc find peut suivre n − 1 pointeurs vers le parent ; les deux heuristiques le rendent presque constant.

Réponse

D · O(n)
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AC (3)
2. BD (4)
3. AB (10)
4. BE (12)
5. EF (14)

numéro de l’arête 4

BE

Réponse

arête BE

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