Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel est le temps d'exécution du tri par base LSD sur n entiers de d chiffres en base k ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(d(n + k))
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe P est correcte ?

  1. ALes problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
  2. BLes problèmes qui demandent un temps exponentiel sur tout ordinateur
  3. CLes problèmes qui peuvent être résolus en parallèle
  4. DLes problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées mais jamais trouvées en temps polynomial
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe chaînage séparé (separate chaining)
  2. BLe sondage linéaire (linear probing)
  3. CLe sondage quadratique (quadratic probing)
  4. DLe double hachage (double hashing)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle paire de parcours détermine toujours un arbre binaire unique à clés distinctes ?

  1. APréfixe et infixe
  2. BPar niveaux seul
  3. CPréfixe et postfixe
  4. DPréfixe seul
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K6 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K6
H =
6.Théorie des graphesDifficile
738114201314115ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(d(n + k))

Pourquoi c'est la réponse

Chacune des d passes est un tri par comptage coûtant O(n + k) ; pour d et k fixés, le total est donc linéaire en n.

Réponse

D · O(d(n + k))
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

P contient les problèmes de décision admettant un algorithme déterministe en temps polynomial, comme vérifier si un graphe est connexe.

Réponse

A · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: A · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

A · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: A · Préfixe et infixe

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe donne la racine, et sa position dans la séquence infixe sépare les sous-arbres gauche et droit ; préfixe et postfixe sont ambigus lorsqu'un nœud a un seul enfant.

Réponse

A · Préfixe et infixe
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 39

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GC (1): prise
AC (3): prise
DE (4): prise
AB (7): prise
BC (8): sautée, ferme un cycle
CE (11): prise
EF (13): prise

Poids total

W = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 13 = 39

Réponse

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms