Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel espace de pile utilise une fonction factorielle récursive simple fact(n) = n × fact(n − 1) ?

AO(1)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi l'algorithme de Dijkstra peut-il donner des résultats faux lorsque certains poids d'arêtes sont négatifs ?

AIl entre dans une boucle infinie à chaque arête négative
BIl ne fonctionne que sur les graphes non orientés
CUn sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
DLes nombres négatifs ne peuvent pas être stockés dans une file de priorité

3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

A0,5
B2
CIl n'y a pas de maximum
D1

4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de Fenwick (binary indexed tree) sur un tableau de n nombres permet quelles opérations en O(log n) ?

ALa recherche de la médiane en O(1)
BLes requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
CL'insertion d'éléments à n'importe quelle position
DLe tri du tableau et la recherche dichotomique

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 8

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 2

1arête AB
2arête AC
3arête BC
4arête BD
5arête CE
6arête DE
7arête DF
8arête EF
9arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La récursion atteint une profondeur de n appels avant tout retour, et chaque appel nécessite un cadre de pile : elle utilise donc un espace O(n).

Réponse

C · O(n)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court

Pourquoi c'est la réponse

L'étape gloutonne repose sur des poids positifs ou nuls pour que les distances extraites soient définitives ; on utilise Bellman-Ford quand les poids peuvent être négatifs.

Réponse

C · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court

3.Structures de données

Réponse: D · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

D · 1

4.Structures de données

Réponse: B · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de Fenwick stocke des sommes partielles sur des intervalles déterminés par les bits de poids faible de chaque indice, donc les sommes préfixes comme les mises à jour ponctuelles prennent O(log n).

Réponse

B · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Sommets impairs

A, C, D, F → 4

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: arête AB

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. BC (2)

2. AB (3)

3. CE (6)

4. DE (7)

5. DF (13)

numéro de l’arête 2

Réponse

arête AB

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