Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi la programmation dynamique n'apporte-t-elle aucune accélération réelle au tri fusion ?

  1. ALe tri fusion n'a pas de structure récursive
  2. BLa programmation dynamique ne fonctionne que sur les problèmes de graphes, pas sur les tableaux
  3. CSes sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
  4. DLe tri fusion est déjà en O(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Que se passerait-il si quelqu'un trouvait un algorithme en temps polynomial pour un problème NP-complet ?

  1. ALe problème de l'arrêt deviendrait décidable
  2. BTout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
  3. CSeul ce problème passerait dans P
  4. DTous les algorithmes en temps exponentiel s'exécuteraient immédiatement en temps linéaire
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

  1. Ai + 1 et i + 2
  2. Bi/2 et i/2 + 1
  3. C2i et 2i + 1
  4. D2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de donnéesDifficile

Vous devez conserver les k plus petites valeurs d'un flux de n nombres en utilisant O(k) mémoire. Quelle approche fonctionne en O(n log k) ?

  1. AUn tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
  2. BUne file FIFO des k dernières valeurs
  3. CUn tableau trié de toutes les n valeurs
  4. DUn tas min contenant les n valeurs, dont on extrait les k plus petites à la fin
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 33 × deg 44 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
118917141462ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser

Pourquoi c'est la réponse

Les moitiés du tri fusion sont disjointes et chacune est résolue une seule fois ; la PD n'aide que lorsque les sous-problèmes se répètent, comme pour Fibonacci.

Réponse

C · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP

Pourquoi c'est la réponse

Comme tout NP se réduit en temps polynomial à n'importe quel problème NP-complet, un algorithme rapide pour l'un en donne un pour tous.

Réponse

B · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
3.Structures de données

Réponse: D · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

D · 2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de données

Réponse: A · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive

Pourquoi c'est la réponse

La racine du tas max est la plus grande valeur conservée ; toute nouvelle valeur plus petite la remplace en O(log k), donc le tas contient toujours les k plus petites valeurs vues jusqu'ici.

Réponse

A · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 26 = 2(L + 9) − 2
L = 10

Réponse

L = 10

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 27

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): C: 11
C (11): B: 19, E: 12, G: 25
E (12): G: 14
G (14): D: 20
B (19)
D (20): F: 27
F (27)

Plus court chemin

A → C → E → G → D → F
d(F) = 27

Réponse

d(F) = 27

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