Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un tri rapide utilise toujours le premier élément comme pivot. Sur quelle entrée présente-t-il son comportement de pire cas ?

  1. AUn tableau dans un ordre aléatoire
  2. BUn tableau déjà trié
  3. CUn tableau de longueur 2
  4. DUn tableau dont tous les éléments sont distincts
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle technique donne au tri rapide un temps d'exécution espéré en O(n log n) pour toute entrée ?

  1. AToujours choisir le premier élément
  2. BTrier l'entrée avant d'exécuter le tri rapide
  3. CN'utiliser la récursivité que sur la partie gauche
  4. DChoisir le pivot uniformément au hasard
3.Structures de donnéesMoyen

Un trie (arbre de préfixes) est particulièrement efficace pour :

  1. ALes recherches par préfixe, comme l'autocomplétion
  2. BLe tri de nombres
  3. CLe stockage de matrices
  4. DLa recherche des plus courts chemins
4.Structures de donnéesDifficile

Dans un tampon circulaire, front == rear peut signifier vide ou plein. Quelle est une manière courante de les distinguer ?

  1. AToujours vider le tampon dès que front est égal à rear, si bien que l'état est vide
  2. BStocker front et rear dans la même variable
  3. CTenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
  4. DChoisir une taille de tampon égale à une puissance de deux
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K7 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K7
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 2 vont de A à B ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Un tableau déjà trié

Pourquoi c'est la réponse

Sur une entrée triée, le pivot est toujours le minimum : un côté est vide et l'autre contient n − 1 éléments, ce qui donne O(n²).

Réponse

B · Un tableau déjà trié
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Choisir le pivot uniformément au hasard

Pourquoi c'est la réponse

Avec un pivot aléatoire, le temps d'exécution espéré est O(n log n) pour toute entrée ; les mauvais cas existent toujours, mais sont très improbables.

Réponse

D · Choisir le pivot uniformément au hasard
3.Structures de données

Réponse: A · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

Pourquoi c'est la réponse

Les tries stockent les chaînes caractère par caractère le long de chemins, donc les recherches et les requêtes par préfixe prennent un temps proportionnel à la longueur de la clé.

Réponse

A · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion
4.Structures de données

Réponse: C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

Pourquoi c'est la réponse

Avec un compteur, vide signifie count = 0 et plein signifie count = capacité ; avec une case vide, plein se définit par (rear + 1) mod n == front.

Réponse

C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 = 1

Réponse

N = 1

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