Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel est le temps d'exécution du tri par base LSD sur n entiers de d chiffres en base k ?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n²)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  2. BParce que n est toujours petit
  3. CParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
  4. DParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe sondage linéaire (linear probing)
  2. BLe sondage quadratique (quadratic probing)
  3. CLe chaînage séparé (separate chaining)
  4. DLe double hachage (double hashing)
4.Structures de donnéesDifficile

Comment détecter si une liste simplement chaînée contient un cycle avec O(1) mémoire supplémentaire ?

  1. AAvancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
  2. BStocker chaque nœud visité dans un ensemble haché
  3. CTrier la liste et chercher des doublons
  4. DCompter les nœuds jusqu'à dépasser le champ de longueur de la liste
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de A et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(d(n + k))

Pourquoi c'est la réponse

Chacune des d passes est un tri par comptage coûtant O(n + k) ; pour d et k fixés, le total est donc linéaire en n.

Réponse

C · O(d(n + k))
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

A · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: C · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

C · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: A · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent

Pourquoi c'est la réponse

Dans l'algorithme de Floyd, s'il y a un cycle, le pointeur rapide finit par rattraper le lent ; sinon, le pointeur rapide atteint null.

Réponse

A · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Sommets impairs

C, F → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Voisins communs

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Réponse

N = 2

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