Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi la programmation dynamique n'apporte-t-elle aucune accélération réelle au tri fusion ?

  1. ASes sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
  2. BLe tri fusion est déjà en O(n)
  3. CLe tri fusion n'a pas de structure récursive
  4. DLa programmation dynamique ne fonctionne que sur les problèmes de graphes, pas sur les tableaux
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe NP est correcte ?

  1. ALes problèmes qui ne sont pas polynomiaux
  2. BLes problèmes qui ne peuvent pas être résolus en temps polynomial
  3. CLes problèmes qu'aucun algorithme ne peut résoudre
  4. DLes problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps faut-il pour vérifier si l'arête (u, v) existe avec une matrice d'adjacence ?

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

  1. AO(V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V²)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
1521041142013ABCDEF

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête DF
  8. 8arête EF

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser

Pourquoi c'est la réponse

Les moitiés du tri fusion sont disjointes et chacune est résolue une seule fois ; la PD n'aide que lorsque les sous-problèmes se répètent, comme pour Fibonacci.

Réponse

A · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat

Pourquoi c'est la réponse

Pour un problème NP, une solution proposée (certificat) peut être vérifiée rapidement, par exemple vérifier qu'une affectation donnée satisfait une formule booléenne.

Réponse

D · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de données

Réponse: A · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La case à la ligne u, colonne v indique immédiatement si l'arête existe ; une liste d'adjacence peut nécessiter de parcourir les voisins de u.

Réponse

A · O(1)
4.Structures de données

Réponse: D · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

D · O(V²)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 21

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Réponse

L = 21

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête BC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. CE (1)
2. AC (2)
3. BD (4)
4. BC (10)
5. EF (13)

numéro de l’arête 4

BC

Réponse

arête BC

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