Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  2. BLe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
  3. CLe coût espéré sur des entrées aléatoires
  4. DLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri par insertion s'exécute en O(n) sur une entrée triée. Cela contredit-il la borne inférieure Ω(n log n) des tris par comparaisons ?

  1. ANon, car le tri par insertion n'est pas un tri par comparaisons
  2. BNon, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
  3. COui, mais seulement pour les tableaux de moins de 100 éléments
  4. DOui, la borne inférieure est donc fausse
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. DIl n'y a pas de maximum
4.Structures de donnéesDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace supplémentaire de l'inversion sur place d'une liste simplement chaînée ?

  1. AO(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  2. BO(1) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  3. CO(n) en temps et O(n) en espace supplémentaire
  4. DO(n log n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 20 sommets et 28 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 20|E| = 28
k =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 2 vont de B à D ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

B · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée

Pourquoi c'est la réponse

La borne dit que tout tri par comparaisons nécessite environ n log n comparaisons sur une certaine entrée de taille n ; des entrées particulières peuvent être bien plus rapides.

Réponse

B · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de données

Réponse: A · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

A · 1
4.Structures de données

Réponse: A · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

Pourquoi c'est la réponse

Trois pointeurs (précédent, courant, suivant) permettent d'inverser chaque lien en un seul passage sans allouer de nouveaux nœuds.

Réponse

A · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 9

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

20 − 1 = 19

Arêtes à retirer

k = 28 − 19 = 9

Réponse

k = 9
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)BD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 1

Réponse

N = 1

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