Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme de Bellman-Ford sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. AQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
  2. BLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  3. CLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
  4. DQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la valeur de l'expression postfixée 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B24
  3. C10
  4. D11
4.Structures de donnéesDifficile

Vous devez conserver les k plus petites valeurs d'un flux de n nombres en utilisant O(k) mémoire. Quelle approche fonctionne en O(n log k) ?

  1. AUn tas min contenant les n valeurs, dont on extrait les k plus petites à la fin
  2. BUne file FIFO des k dernières valeurs
  3. CUn tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
  4. DUn tableau trié de toutes les n valeurs
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
15413771234ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(V × E)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V − 1 tours relâche les E arêtes, d'où O(VE) ; en contrepartie, il gère les poids d'arêtes négatifs.

Réponse

C · O(V × E)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: A · 14

Pourquoi c'est la réponse

On empile 3 et 4, + donne 7 ; on empile 2, * donne 7 × 2 = 14.

Réponse

A · 14
4.Structures de données

Réponse: C · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive

Pourquoi c'est la réponse

La racine du tas max est la plus grande valeur conservée ; toute nouvelle valeur plus petite la remplace en O(log k), donc le tas contient toujours les k plus petites valeurs vues jusqu'ici.

Réponse

C · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 32 = 2(L + 11) − 2
L = 12

Réponse

L = 12

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 12

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 15, C: 4
C (4): B: 5, E: 11
B (5): D: 8, E: 9
D (8): F: 20
E (9): F: 12
F (12)

Plus court chemin

A → C → B → E → F
d(F) = 12

Réponse

d(F) = 12

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