Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour j = 1 à i : faire un travail O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Que se passerait-il si quelqu'un trouvait un algorithme en temps polynomial pour un problème NP-complet ?

  1. ATous les algorithmes en temps exponentiel s'exécuteraient immédiatement en temps linéaire
  2. BLe problème de l'arrêt deviendrait décidable
  3. CTout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
  4. DSeul ce problème passerait dans P
3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi un tas binaire peut-il être stocké dans un tableau sans aucun pointeur ?

  1. ALes tas ne contiennent jamais plus de 100 éléments
  2. BToutes les clés d'un tas sont égales
  3. CLes tableaux maintiennent automatiquement les clés triées, donc aucun pointeur n'est nécessaire
  4. DC'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
4.Structures de donnéesDifficile

Un nœud AVL est déséquilibré parce que le sous-arbre droit de son enfant gauche est devenu trop haut (cas gauche-droite). Quelle correction applique-t-on ?

  1. AUne rotation simple à droite sur le nœud
  2. BUne rotation simple à gauche sur le nœud
  3. CUne rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
  4. DUne rotation à droite sur l'enfant gauche, puis une rotation à gauche sur le nœud
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
9111414674158ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 6 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le corps intérieur s'exécute n(n + 1) / 2 fois au total, ce qui reste quadratique.

Réponse

B · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP

Pourquoi c'est la réponse

Comme tout NP se réduit en temps polynomial à n'importe quel problème NP-complet, un algorithme rapide pour l'un en donne un pour tous.

Réponse

C · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
3.Structures de données

Réponse: D · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples

Pourquoi c'est la réponse

La complétude signifie qu'il n'y a pas de trous, donc les enfants de l'indice i sont toujours en 2i + 1 et 2i + 2.

Réponse

D · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
4.Structures de données

Réponse: C · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud

Pourquoi c'est la réponse

La première rotation transforme le cas gauche-droite en cas gauche-gauche, qu'une rotation à droite sur le nœud déséquilibré corrige ensuite.

Réponse

C · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: F

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): C: 9
2. C (9): B: 20, G: 24
3. B (20): D: 34
4. G (24): D: 32
5. D (32): E: 46, F: 38
6. F (38): E: 45
7. E (45)

tour 6

F

Réponse

F

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