Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. AUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
  2. BLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
  3. CLes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
  4. DUn ordre topologique en O(V²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. AQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
  2. BQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
  3. CLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
  4. DLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire stocké dans un tableau commençant à l'indice 0, où se trouve le parent du nœud d'indice i ?

  1. AÀ l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BÀ l'indice 2i + 1
  3. CÀ l'indice i − 1
  4. DÀ l'indice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi ne peut-on pas simplement supprimer des éléments d'un filtre de Bloom standard en remettant leurs bits à zéro ?

  1. ALes filtres de Bloom stockent les éléments complets, qui sont introuvables une fois hachés
  2. BLes bits d'un filtre de Bloom ne peuvent pas être modifiés après sa création
  3. CCes bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs
  4. DLa suppression porterait le taux de faux positifs à 100%
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K7 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K7
H =
6.Théorie des graphesDifficile
411253111510ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

C · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: A · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Pourquoi c'est la réponse

Les enfants de i sont en 2i + 1 et 2i + 2, donc le parent de i est en ⌊(i − 1) / 2⌋ ; avec une indexation à partir de 1, il est en ⌊i / 2⌋.

Réponse

A · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Structures de données

Réponse: C · Ces bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs

Pourquoi c'est la réponse

Remettre à zéro un bit partagé ferait paraître absent un autre élément ; les filtres de Bloom à compteurs utilisent des compteurs au lieu de bits pour permettre la suppression.

Réponse

C · Ces bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 20

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 4, C: 1
C (1)
B (4): D: 9, E: 14
D (9): E: 12, F: 20
E (12)
F (20)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 20

Réponse

d(F) = 20

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