Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La programmation dynamique est utile lorsqu'un problème présente :

  1. AUne seule boucle
  2. BUniquement des entrées aléatoires
  3. CDes sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
  4. DAucun sous-problème, de sorte qu'il peut être résolu en une seule étape
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour (j = i ; j ≤ n ; j = j + i) faire un travail O(1) ?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours préfixe ?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
4.Structures de donnéesDifficile

En quoi un arbre radix (trie compressé) améliore-t-il un trie simple ?

  1. AIl trie les enfants de chaque nœud par fréquence
  2. BIl ne garde que la première lettre de chaque mot
  3. CIl fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne
  4. DIl stocke chaque mot dans une table de hachage à la racine au lieu de nœuds distincts
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de D et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale

Pourquoi c'est la réponse

Mémoriser les résultats des sous-problèmes qui se chevauchent (mémoïsation ou tabulation) évite le travail répété et transforme des algorithmes exponentiels en algorithmes polynomiaux.

Réponse

C · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le total vaut n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, et le nombre harmonique Hn est Θ(log n).

Réponse

C · O(n log n)
3.Structures de données

Réponse: A · 1 2 4 5 3

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe visite 1, puis son sous-arbre gauche (2, 4, 5), puis 3 ; les autres options sont les parcours infixe, postfixe et par niveaux.

Réponse

A · 1 2 4 5 3
4.Structures de données

Réponse: C · Il fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne

Pourquoi c'est la réponse

Fusionner les chemins sans ramification réduit le nombre de nœuds et la mémoire utilisée tout en conservant la recherche par préfixe.

Réponse

C · Il fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 19

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

Réponse

L = 19

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)DD = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 2

Réponse

N = 2

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