Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un tri rapide utilise toujours le premier élément comme pivot. Sur quelle entrée présente-t-il son comportement de pire cas ?

  1. AUn tableau dont tous les éléments sont distincts
  2. BUn tableau de longueur 2
  3. CUn tableau dans un ordre aléatoire
  4. DUn tableau déjà trié
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi l'algorithme de Dijkstra peut-il donner des résultats faux lorsque certains poids d'arêtes sont négatifs ?

  1. ALes nombres négatifs ne peuvent pas être stockés dans une file de priorité
  2. BUn sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
  3. CIl ne fonctionne que sur les graphes non orientés
  4. DIl entre dans une boucle infinie à chaque arête négative
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours postfixe ?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

  1. ASupprimant tout le sous-arbre
  2. BL'échangeant avec la racine
  3. CLe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
  4. DReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
61412194161815ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Un tableau déjà trié

Pourquoi c'est la réponse

Sur une entrée triée, le pivot est toujours le minimum : un côté est vide et l'autre contient n − 1 éléments, ce qui donne O(n²).

Réponse

D · Un tableau déjà trié
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court

Pourquoi c'est la réponse

L'étape gloutonne repose sur des poids positifs ou nuls pour que les distances extraites soient définitives ; on utilise Bellman-Ford quand les poids peuvent être négatifs.

Réponse

B · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
3.Structures de données

Réponse: C · 4 5 2 3 1

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours postfixe traite 4 et 5 avant 2, puis 3, et enfin la racine 1.

Réponse

C · 4 5 2 3 1
4.Structures de données

Réponse: C · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

C · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 44

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GB (1): prise
CE (4): prise
GD (5): prise
AB (6): prise
BC (12): prise
AC (14): sautée, ferme un cycle
DF (16): prise

Poids total

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 12 + 16 = 44

Réponse

W = 44

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