Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La borne inférieure du tri par comparaisons dans le pire cas est :

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel est le temps d'exécution de l'algorithme de Dijkstra avec un tas binaire sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³)
  4. DO(V × E)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
4.Structures de donnéesDifficile

Un tableau dynamique double de taille lorsqu'il est plein. Pourquoi de nombreuses implémentations ne le réduisent-elles que lorsqu'il est rempli au quart, et non à moitié ?

  1. APour garder le tableau trié
  2. BParce que diviser par deux à la moitié ferait perdre des éléments
  3. CParce que l'allocateur de mémoire ne peut libérer la mémoire que par quarts de bloc
  4. DPour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K8 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K8
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 2 vont de C à A ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Ω(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Tout tri par comparaisons nécessite au moins log₂(n!) ≈ n log n comparaisons dans le pire cas. Le tri par dénombrement fait mieux car il n'effectue pas de comparaisons.

Réponse

D · Ω(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O((V + E) log V)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a V extractions du minimum et jusqu'à E diminutions de clé, chacune en O(log V) ; un tas de Fibonacci améliore cela en O(E + V log V).

Réponse

A · O((V + E) log V)
3.Structures de données

Réponse: C · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.

Réponse

C · O(log n)
4.Structures de données

Réponse: D · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite

Pourquoi c'est la réponse

Réduire à la moitié pourrait déclencher un redimensionnement à chaque opération d'une telle séquence ; l'écart entre 1/4 et plein maintient le coût amorti en O(1).

Réponse

D · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 2520

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Réponse

H = 2520
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

Réponse

N = 1

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