Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel énoncé sur une fonction récursive sans cas de base atteignable est correct ?

ALe compilateur la transforme toujours en une boucle qui se termine sans danger
BElle s'exécute en temps O(1)
CElle renvoie automatiquement 0
DElle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

2.Algorithmes et complexitéDifficile

2²ⁿ est-il dans O(2ⁿ) ?

AOui, car les deux sont exponentiels
BNon, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
COui, car les facteurs constants dans l'exposant sont toujours ignorés en grand O
DNon, car 2²ⁿ croît plus lentement que 2ⁿ

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la hauteur, dans le pire des cas, d'un arbre binaire de recherche à n nœuds si les clés sont insérées dans l'ordre trié ?

A√n
B1
Cn (il devient une liste chaînée)
Dlog₂ n

4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

ADes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
BDes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
CLes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
DDes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Sans cas de base, la récursion ne s'arrête jamais ; en pratique, la mémoire pour les cadres de pile s'épuise et le programme plante.

Réponse

D · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Non, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

Pourquoi c'est la réponse

Une constante ajoutée à l'exposant donne un facteur constant, mais une constante qui multiplie l'exposant change la base et le taux de croissance.

Réponse

B · Non, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

3.Structures de données

Réponse: C · n (il devient une liste chaînée)

Pourquoi c'est la réponse

Des insertions triées créent un arbre dégénéré de hauteur n, ce qui rend les recherches en O(n). Les arbres équilibrés évitent ce problème.

Réponse

C · n (il devient une liste chaînée)

4.Structures de données

Réponse: B · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

B · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 16

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 14, C: 10

C (10): E: 12

E (12): D: 18, F: 16

B (14)

F (16)

D (18)

Plus court chemin

A → C → E → F

d(F) = 16

Réponse

d(F) = 16

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