Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : (j = 1 ; tant que j < n : j = j × 2) ?

AO(log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème de l'arrêt montre que :

ACertains programmes s'exécutent plus vite sur des ordinateurs plus rapides, donc l'arrêt dépend du matériel
BIl faut éviter les boucles
CTout programme finit par s'arrêter
DAucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle condition d'équilibre un arbre AVL maintient-il en chaque nœud ?

AChaque nœud est colorié en rouge ou en noir
BLes hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
CToutes les feuilles sont exactement à la même profondeur
DLes deux sous-arbres de chaque nœud contiennent exactement le même nombre de nœuds

4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi un serveur pourrait-il choisir sa fonction de hachage au hasard dans une famille universelle ?

APour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
BPour garantir que deux clés n'entrent jamais en collision, quelles que soient les clés envoyées par un attaquant
CPour que la table de hachage soit triée
DPour supprimer le besoin de redimensionner la table

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Combien de marches de longueur 2 vont de B à C ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2

N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

La boucle intérieure s'exécute environ log₂ n fois pour chacune des n itérations extérieures, soit O(n log n).

Réponse

D · O(n log n)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Aucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête

Pourquoi c'est la réponse

Turing a montré que le problème de l'arrêt est indécidable : supposer qu'un décideur existe mène à une contradiction avec un programme qui fait l'inverse.

Réponse

D · Aucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête

3.Structures de données

Réponse: B · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

Pourquoi c'est la réponse

Le facteur d'équilibre (hauteur gauche − hauteur droite) doit valoir −1, 0 ou 1 ; des rotations le rétablissent après les insertions et les suppressions.

Réponse

B · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

4.Structures de données

Réponse: A · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

Pourquoi c'est la réponse

Avec le hachage universel, le nombre attendu de collisions est faible pour tout ensemble de clés, puisque l'attaquant ne sait pas quelle fonction a été choisie.

Réponse

A · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

A, B, C, D → 4

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. K_n a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 0

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)_BC = 1·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Réponse

N = 1

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