Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une table remplie de bas en haut ?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. AQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
  2. BLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  3. CQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
  4. DLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(n), où n est le nombre de mots
  2. BO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
  3. CO(log n), où n est le nombre de mots
  4. DO(L × n)
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi un serveur pourrait-il choisir sa fonction de hachage au hasard dans une famille universelle ?

  1. APour supprimer le besoin de redimensionner la table
  2. BPour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
  3. CPour garantir que deux clés n'entrent jamais en collision, quelles que soient les clés envoyées par un attaquant
  4. DPour que la table de hachage soit triée
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K5
H =
6.Théorie des graphesDifficile
141012161520176ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet F. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2.

départ : Fk = 2
  1. 1arête AC
  2. 2arête BC
  3. 3arête BD
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Remplir la table de 0 à n demande une addition par entrée : le travail est linéaire au lieu d'exponentiel.

Réponse

C · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

C · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: B · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

B · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: B · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

Pourquoi c'est la réponse

Avec le hachage universel, le nombre attendu de collisions est faible pour tout ensemble de clés, puisque l'attaquant ne sait pas quelle fonction a été choisie.

Réponse

B · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. EF (17)
2. BE (6)
3. BC (10)
4. BD (12)
5. AC (14)

numéro de l’arête 2

BE

Réponse

arête BE

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