Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel espace de pile utilise une fonction factorielle récursive simple fact(n) = n × fact(n − 1) ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle technique donne au tri rapide un temps d'exécution espéré en O(n log n) pour toute entrée ?

  1. AChoisir le pivot uniformément au hasard
  2. BTrier l'entrée avant d'exécuter le tri rapide
  3. CToujours choisir le premier élément
  4. DN'utiliser la récursivité que sur la partie gauche
3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi le parcours d'un tableau est-il souvent bien plus rapide en pratique que celui d'une liste chaînée de même longueur ?

  1. ALes listes chaînées stockent toujours leurs éléments sur disque
  2. BLes tableaux utilisent moins d'instructions pour comparer les valeurs
  3. CLes éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
  4. DLe parcours d'un tableau est en O(1) au total, alors que celui d'une liste chaînée est en O(n)
4.Structures de donnéesDifficile

Comment détecter si une liste simplement chaînée contient un cycle avec O(1) mémoire supplémentaire ?

  1. AAvancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
  2. BCompter les nœuds jusqu'à dépasser le champ de longueur de la liste
  3. CStocker chaque nœud visité dans un ensemble haché
  4. DTrier la liste et chercher des doublons
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1120151710531694ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La récursion atteint une profondeur de n appels avant tout retour, et chaque appel nécessite un cadre de pile : elle utilise donc un espace O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Choisir le pivot uniformément au hasard

Pourquoi c'est la réponse

Avec un pivot aléatoire, le temps d'exécution espéré est O(n log n) pour toute entrée ; les mauvais cas existent toujours, mais sont très improbables.

Réponse

A · Choisir le pivot uniformément au hasard
3.Structures de données

Réponse: C · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur

Pourquoi c'est la réponse

La mémoire contiguë offre une bonne localité des références, alors que des nœuds chaînés peuvent être dispersés et provoquer de nombreux défauts de cache.

Réponse

C · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
4.Structures de données

Réponse: A · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent

Pourquoi c'est la réponse

Dans l'algorithme de Floyd, s'il y a un cycle, le pointeur rapide finit par rattraper le lent ; sinon, le pointeur rapide atteint null.

Réponse

A · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Sommets impairs

B, C, E, G → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 48

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GB (3): prise
GE (4): prise
EF (5): prise
GD (9): prise
DE (10): sautée, ferme un cycle
AC (11): prise
BD (15): sautée, ferme un cycle
GC (16): prise

Poids total

W = 3 + 4 + 5 + 9 + 11 + 16 = 48

Réponse

W = 48

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