Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelles sont les deux choses à montrer pour prouver qu'un problème de décision X est NP-complet ?

  1. AX n'a pas d'algorithme polynomial, et X est décidable
  2. BX est dans P, et X se réduit à SAT
  3. CX se réduit à un problème de P, et X est dans NP
  4. DX est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. AIl n'y a pas de maximum
  2. B2
  3. C1
  4. D0,5
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les bases de données utilisent-elles souvent des arbres B+ plutôt que de simples B-arbres pour leurs index ?

  1. ALes arbres B+ utilisent des nœuds internes binaires, ce qui réduit le nombre de lectures sur disque
  2. BLes arbres B+ n'ont pas besoin d'être équilibrés
  3. CTous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
  4. DLes arbres B+ ne stockent les données que dans la racine
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 9 sommets et 10 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 9|E| = 10
k =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de C et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

D · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · X est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

L'appartenance à NP montre que X n'est pas plus difficile que NP ; la réduction depuis un problème NP-complet connu montre que X est au moins aussi difficile que tout NP.

Réponse

D · X est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: C · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

C · 1
4.Structures de données

Réponse: C · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces

Pourquoi c'est la réponse

Dans un arbre B+, les nœuds internes servent uniquement à guider la recherche et les feuilles sont chaînées dans l'ordre des clés ; une requête par intervalle trouve la première clé puis parcourt les feuilles.

Réponse

C · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

9 − 1 = 8

Arêtes à retirer

k = 10 − 8 = 2

Réponse

k = 2
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 3

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Voisins communs

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Réponse

N = 3

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