Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour j = 1 à i : faire un travail O(1) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n³)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
  4. DΘ(n3)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

  1. AUne table de hachage des fonctions
  2. BLa pile d'appels
  3. CLa file de la mémoire du tas
  4. DUn arbre binaire de recherche de cadres
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les arbres B (B-trees) sont-ils utilisés dans les bases de données et les systèmes de fichiers ?

  1. ALeur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
  2. BIls stockent les données sans les trier
  3. CIls n'ont pas besoin de rééquilibrage
  4. DIls utilisent moins de mémoire que n'importe quel tableau, si bien que tout l'index tient toujours en mémoire centrale
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
3117151211127ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le corps intérieur s'exécute n(n + 1) / 2 fois au total, ce qui reste quadratique.

Réponse

A · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585

Pourquoi c'est la réponse

Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).

Réponse

C · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de données

Réponse: B · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

B · La pile d'appels
4.Structures de données

Réponse: A · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres B stockent de nombreuses clés par nœud, donc la hauteur est faible et peu de lectures de blocs sont nécessaires par recherche ; les arbres B+ relient en plus les feuilles pour les parcours d'intervalles.

Réponse

A · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 16

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Réponse

L = 16

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 22

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 11
B (3): C: 10, D: 18, E: 10
C (10)
E (10): F: 22
D (18)
F (22)

Plus court chemin

A → B → E → F
d(F) = 22

Réponse

d(F) = 22

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