Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. AUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
  2. BLes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
  3. CLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
  4. DUn ordre topologique en O(V²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?

  1. AC'est indécidable
  2. BOn peut le résoudre avec l'algorithme de Dijkstra en prenant l'opposé des poids
  3. CC'est toujours résoluble en O(V + E)
  4. DC'est NP-difficile
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. AChaque ligne contient exactement un 1
  2. BSa diagonale principale contient toujours des 1
  3. CElle est toujours triangulaire supérieure
  4. DElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

  1. AÀ choisir le sommet de départ
  2. BÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours
  3. CÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
  4. DÀ trier les arêtes par poids
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
710131614315172418ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

B · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · C'est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.

Réponse

D · C'est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: D · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

D · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: C · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

C · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Réponse

L = 4

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 40

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GC (2): prise
DF (3): prise
GD (4): prise
AB (7): prise
AC (10): prise
BC (13): sautée, ferme un cycle
DE (14): prise

Poids total

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 10 + 14 = 40

Réponse

W = 40

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