Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle amortie de l'ajout en fin de tableau dynamique qui double sa capacité lorsqu'il est plein ?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la notation petit o est correct ?

  1. An = o(n²), mais n n'est pas o(n)
  2. B2n = o(n), car 2n croît lentement
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n), puisque toute fonction est un petit o d'elle-même
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(log n), où n est le nombre de mots
  2. BO(n), où n est le nombre de mots
  3. CO(L × n)
  4. DO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de donnéesDifficile

Pour chaque élément d'un tableau, vous voulez le prochain élément plus grand à sa droite, en O(n) au total. Quelle structure aide ?

  1. AUne file contenant toutes les paires d'éléments
  2. BUn arbre binaire de recherche reconstruit pour chaque élément
  3. CUne table de hachage de tous les éléments
  4. DUne pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
1961752071694ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 6.

départ : Bk = 6
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête DE
  6. 6arête EF
  7. 7arête GB
  8. 8arête GC
  9. 9arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La copie de tous les éléments n'a lieu qu'aux puissances de deux ; répartie sur tous les ajouts, le coût moyen par ajout est constant.

Réponse

A · O(1)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

Pourquoi c'est la réponse

f = o(g) signifie que f(n) / g(n) tend vers 0 ; n / n² tend vers 0, mais n / n = 1 non.

Réponse

A · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)
3.Structures de données

Réponse: D · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

D · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: D · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

Pourquoi c'est la réponse

En parcourant de gauche à droite, on dépile chaque élément plus petit que l'élément courant (l'élément courant est leur réponse), puis on empile celui-ci ; chaque élément est déplacé au plus deux fois.

Réponse

D · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 18

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 40 = 2(L + 12) − 2
L = 18

Réponse

L = 18

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête AC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BD (5)
2. GB (16)
3. GE (4)
4. EF (7)
5. GC (9)
6. AC (6)

numéro de l’arête 6

AC

Réponse

arête AC

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