Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
  2. BLe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  3. CLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
  4. DLe coût espéré sur des entrées aléatoires
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Qu'a établi le théorème de Cook-Levin ?

  1. AP est différent de NP
  2. BTout problème NP peut être résolu en temps exponentiel
  3. CLe problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
  4. DLe problème de l'arrêt est indécidable
3.Structures de donnéesMoyen

Comment fonctionne l'extraction du minimum (extract-min) dans un tas binaire min ?

  1. AOn déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
  2. BOn retire la racine et on décale tous les éléments d'une case vers la gauche
  3. COn retire le dernier élément du tableau
  4. DOn cherche le nouveau minimum parmi toutes les feuilles
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de segments (segment tree) est généralement utilisé pour :

  1. AImplémenter une pile
  2. BTrier des chaînes par ordre alphabétique en stockant chaque préfixe dans un nœud distinct de l'arbre
  3. CRépondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
  4. DStocker les arêtes d'un graphe
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
77143933ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

A · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet

Pourquoi c'est la réponse

Cook et Levin ont montré indépendamment que tout problème de NP se réduit à SAT en temps polynomial : SAT a donc été le premier problème NP-complet connu.

Réponse

C · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
3.Structures de données

Réponse: A · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre

Pourquoi c'est la réponse

Le dernier élément comble le trou à la racine et est échangé avec son plus petit enfant jusqu'à ce que la propriété de tas soit respectée, en O(log n).

Réponse

A · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
4.Structures de données

Réponse: C · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de segments stocke des agrégats pour des intervalles et permet des requêtes sur intervalles et des mises à jour ponctuelles en temps O(log n).

Réponse

C · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Sommets impairs

A, C, D, G → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 14

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 7, C: 7
B (7): D: 11, E: 10
C (7)
E (10)
D (11): F: 14
F (14)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 14

Réponse

d(F) = 14

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