Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

  1. AOui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
  2. BNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction
  3. CNon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
  4. DOui, mais seulement si n est inférieur à 100
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi l'algorithme de Dijkstra peut-il donner des résultats faux lorsque certains poids d'arêtes sont négatifs ?

  1. ALes nombres négatifs ne peuvent pas être stockés dans une file de priorité
  2. BUn sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
  3. CIl entre dans une boucle infinie à chaque arête négative
  4. DIl ne fonctionne que sur les graphes non orientés
3.Structures de donnéesMoyen

Les clés 50, 30, 70, 20, 40 sont insérées dans cet ordre dans un arbre binaire de recherche vide. Quel est l'enfant gauche de 30 ?

  1. A40
  2. B20
  3. C50
  4. D70
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

  1. ALa racine doit être rouge
  2. BChaque nœud doit être rouge
  3. CTout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
  4. DTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 8 sommets et 16 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 8|E| = 16
k =
6.Théorie des graphesDifficile
15918102042176ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court

Pourquoi c'est la réponse

L'étape gloutonne repose sur des poids positifs ou nuls pour que les distances extraites soient définitives ; on utilise Bellman-Ford quand les poids peuvent être négatifs.

Réponse

B · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
3.Structures de données

Réponse: B · 20

Pourquoi c'est la réponse

20 est plus petit que 50 et que 30, il devient donc l'enfant gauche de 30 ; 40 devient son enfant droit.

Réponse

B · 20
4.Structures de données

Réponse: D · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

D · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 9

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

8 − 1 = 7

Arêtes à retirer

k = 16 − 7 = 9

Réponse

k = 9
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 36

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

DF (2): prise
DE (4): prise
BE (6): prise
AC (9): prise
BD (10): sautée, ferme un cycle
AB (15): prise

Poids total

W = 2 + 4 + 6 + 9 + 15 = 36

Réponse

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms