Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron n / 2
  2. BEnviron log₂ n
  3. CEnviron n
  4. DEnviron √n
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
  2. BParce que n est toujours petit
  3. CW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  4. DParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. ASa diagonale principale contient toujours des 1
  2. BChaque ligne contient exactement un 1
  3. CElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
  4. DElle est toujours triangulaire supérieure
4.Structures de donnéesDifficile

Comment détecter si une liste simplement chaînée contient un cycle avec O(1) mémoire supplémentaire ?

  1. ATrier la liste et chercher des doublons
  2. BCompter les nœuds jusqu'à dépasser le champ de longueur de la liste
  3. CStocker chaque nœud visité dans un ensemble haché
  4. DAvancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 10 sommets et 11 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 10|E| = 11
k =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 2 vont de B à D ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

B · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: C · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

C · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: D · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent

Pourquoi c'est la réponse

Dans l'algorithme de Floyd, s'il y a un cycle, le pointeur rapide finit par rattraper le lent ; sinon, le pointeur rapide atteint null.

Réponse

D · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

10 − 1 = 9

Arêtes à retirer

k = 11 − 9 = 2

Réponse

k = 2
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Voisins communs

(M²)BD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Réponse

N = 1

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