Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Le parcours en largeur (BFS) sur un graphe non pondéré trouve :

  1. AUn ordre topologique dans tous les graphes
  2. BLes plus courts chemins dans les graphes qui contiennent des poids d'arêtes négatifs
  3. CLes plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
  4. DL'arbre couvrant de poids minimal
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi l'algorithme de Dijkstra peut-il donner des résultats faux lorsque certains poids d'arêtes sont négatifs ?

  1. AIl entre dans une boucle infinie à chaque arête négative
  2. BLes nombres négatifs ne peuvent pas être stockés dans une file de priorité
  3. CIl ne fonctionne que sur les graphes non orientés
  4. DUn sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
3.Structures de donnéesMoyen

Une application a besoin de recherches rapides, mais aussi de lister les clés dans l'ordre trié et de répondre à des requêtes par intervalle. Quelle structure convient le mieux ?

  1. AUne pile
  2. BUne liste chaînée non triée
  3. CUn arbre binaire de recherche équilibré
  4. DUne table de hachage
4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

  1. ADes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
  2. BLes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
  3. CDes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
  4. DDes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 9 sommets et 14 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 9|E| = 14
k =
6.Théorie des graphesDifficile
141311515342ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

Pourquoi c'est la réponse

BFS visite les nœuds par ordre de distance (en arêtes) depuis la source ; il trouve donc les plus courts chemins non pondérés en O(V + E).

Réponse

C · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court

Pourquoi c'est la réponse

L'étape gloutonne repose sur des poids positifs ou nuls pour que les distances extraites soient définitives ; on utilise Bellman-Ford quand les poids peuvent être négatifs.

Réponse

D · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
3.Structures de données

Réponse: C · Un arbre binaire de recherche équilibré

Pourquoi c'est la réponse

Un BST équilibré offre des recherches en O(log n) et garde les clés ordonnées, ce qui facilite le parcours infixe et les requêtes par intervalle ; une table de hachage disperse les clés.

Réponse

C · Un arbre binaire de recherche équilibré
4.Structures de données

Réponse: C · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

C · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 6

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

9 − 1 = 8

Arêtes à retirer

k = 14 − 8 = 6

Réponse

k = 6
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 18

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 14, C: 13
C (13): E: 18
B (14): D: 15, E: 16
D (15): F: 18
E (16)
F (18)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 18

Réponse

d(F) = 18

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