Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Le parcours en largeur (BFS) sur un graphe non pondéré trouve :

ALes plus courts chemins dans les graphes qui contiennent des poids d'arêtes négatifs
BUn ordre topologique dans tous les graphes
CL'arbre couvrant de poids minimal
DLes plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

2.Algorithmes et complexitéDifficile

2²ⁿ est-il dans O(2ⁿ) ?

AOui, car les facteurs constants dans l'exposant sont toujours ignorés en grand O
BNon, car 2²ⁿ croît plus lentement que 2ⁿ
COui, car les deux sont exponentiels
DNon, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données utilise-t-on pour vérifier si les parenthèses de "{[()]}" sont équilibrées ?

AUne pile
BUne file
CUn arbre binaire de recherche
DUne table de hachage

4.Structures de donnéesDifficile

Dans une table de hachage à adressage ouvert, pourquoi la suppression se fait-elle souvent avec un marqueur « pierre tombale » (tombstone) ?

AVider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
BLes clés supprimées doivent être conservées pour toujours pour des raisons de sécurité, si bien que les emplacements ne peuvent jamais être réutilisés
CCela rend la table triée
DLes pierres tombales accélèrent le hachage

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7

W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

Pourquoi c'est la réponse

BFS visite les nœuds par ordre de distance (en arêtes) depuis la source ; il trouve donc les plus courts chemins non pondérés en O(V + E).

Réponse

D · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Non, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

Pourquoi c'est la réponse

Une constante ajoutée à l'exposant donne un facteur constant, mais une constante qui multiplie l'exposant change la base et le taux de croissance.

Réponse

D · Non, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

3.Structures de données

Réponse: A · Une pile

Pourquoi c'est la réponse

On empile chaque symbole ouvrant et on dépile à chaque symbole fermant ; celui-ci doit correspondre au symbole dépilé, et la pile doit être vide à la fin.

Réponse

A · Une pile

4.Structures de données

Réponse: A · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

Pourquoi c'est la réponse

Si un emplacement supprimé devenait vide, les recherches ultérieures pourraient s'arrêter trop tôt et manquer des clés placées plus loin dans la chaîne de sondage.

Réponse

A · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Sommets impairs

A, E → 2

Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 26

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

CE (1): prise

DE (4): prise

BC (6): prise

BE (14): sautée, ferme un cycle

AB (15): prise

Poids total

W = 1 + 4 + 6 + 15 = 26

Réponse

W = 26

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