Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi toute recherche par comparaisons dans un tableau trié nécessite-t-elle Ω(log n) comparaisons dans le pire cas ?

  1. AChaque élément doit être comparé au moins une fois
  2. BChaque comparaison prend un temps logarithmique
  3. CUn arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
  4. DLa recherche dichotomique est le seul algorithme possible, et elle nécessite log₂ n comparaisons
3.Structures de donnéesMoyen

Un tampon circulaire (ring buffer) est couramment utilisé pour implémenter :

  1. AUn parcours de graphe
  2. BUn arbre binaire de recherche
  3. CUne file de taille fixe
  4. DUne fonction de hachage
4.Structures de donnéesDifficile

L'insertion d'une clé dans un arbre AVL rend le sous-arbre gauche d'un nœud trop haut, et la nouvelle clé est allée dans le sous-arbre gauche de son enfant gauche (cas gauche-gauche). Quelle correction applique-t-on ?

  1. AUne rotation à gauche sur l'enfant, puis une rotation à droite sur le nœud
  2. BUn recoloriage du nœud et de son enfant
  3. CUne rotation simple à droite sur le nœud déséquilibré
  4. DUne rotation simple à gauche sur le nœud déséquilibré
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 13 sommets et 15 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.Théorie des graphesDifficile
19132047518682ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

C · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Chaque comparaison divise au mieux par deux l'ensemble des possibilités restantes ; distinguer n positions nécessite donc au moins log₂ n comparaisons.

Réponse

C · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
3.Structures de données

Réponse: C · Une file de taille fixe

Pourquoi c'est la réponse

Un tampon circulaire utilise des indices de tête et de queue qui reviennent au début, ce qui permet enqueue et dequeue en O(1) dans une mémoire fixe.

Réponse

C · Une file de taille fixe
4.Structures de données

Réponse: C · Une rotation simple à droite sur le nœud déséquilibré

Pourquoi c'est la réponse

Dans le cas gauche-gauche, une rotation à droite fait remonter l'enfant gauche et rétablit l'équilibre ; les cas en zigzag nécessitent une double rotation.

Réponse

C · Une rotation simple à droite sur le nœud déséquilibré
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

13 − 1 = 12

Arêtes à retirer

k = 15 − 12 = 3

Réponse

k = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 43

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GE (2): prise
CE (4): prise
DF (5): prise
GB (6): prise
DE (7): prise
GD (8): sautée, ferme un cycle
BC (13): sautée, ferme un cycle
EF (18): sautée, ferme un cycle
AC (19): prise

Poids total

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 19 = 43

Réponse

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms