Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Environ combien de comparaisons la recherche dichotomique nécessite-t-elle dans le pire cas sur un tableau trié de 1,000,000 d'éléments ?

  1. AEnviron 500,000
  2. BEnviron 100
  3. CEnviron 20
  4. DEnviron 1,000
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri topologique n'est possible que pour :

  1. ALes graphes non orientés
  2. BLes graphes complets
  3. CLes graphes orientés acycliques (DAG)
  4. DLes graphes à poids négatifs
3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi le parcours d'un tableau est-il souvent bien plus rapide en pratique que celui d'une liste chaînée de même longueur ?

  1. ALes listes chaînées stockent toujours leurs éléments sur disque
  2. BLes tableaux utilisent moins d'instructions pour comparer les valeurs
  3. CLes éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
  4. DLe parcours d'un tableau est en O(1) au total, alors que celui d'une liste chaînée est en O(n)
4.Structures de donnéesDifficile

Pour chaque élément d'un tableau, vous voulez le prochain élément plus grand à sa droite, en O(n) au total. Quelle structure aide ?

  1. AUne file contenant toutes les paires d'éléments
  2. BUne table de hachage de tous les éléments
  3. CUne pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
  4. DUn arbre binaire de recherche reconstruit pour chaque élément
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
10519161471820ABCDEF

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 2
  1. 1arête AC
  2. 2arête BC
  3. 3arête BD
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Environ 20

Pourquoi c'est la réponse

220 ≈ 1,048,576 : après environ 20 divisions par deux, il ne reste qu'un élément.

Réponse

C · Environ 20
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les graphes orientés acycliques (DAG)

Pourquoi c'est la réponse

Un ordre topologique existe si et seulement si le graphe orienté ne contient pas de cycle ; on peut le trouver en O(V + E) avec DFS ou l'algorithme de Kahn.

Réponse

C · Les graphes orientés acycliques (DAG)
3.Structures de données

Réponse: C · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur

Pourquoi c'est la réponse

La mémoire contiguë offre une bonne localité des références, alors que des nœuds chaînés peuvent être dispersés et provoquer de nombreux défauts de cache.

Réponse

C · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
4.Structures de données

Réponse: C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

Pourquoi c'est la réponse

En parcourant de gauche à droite, on dépile chaque élément plus petit que l'élément courant (l'élément courant est leur réponse), puis on empile celui-ci ; chaque élément est déplacé au plus deux fois.

Réponse

C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête DF

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. BC (5)
2. DF (7)
3. AC (10)
4. DE (14)
5. CE (16)

numéro de l’arête 2

DF

Réponse

arête DF

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