Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : (j = 1 ; tant que j < n : j = j × 2) ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la notation petit o est correct ?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), mais n n'est pas o(n)
  3. Cn = o(n), puisque toute fonction est un petit o d'elle-même
  4. D2n = o(n), car 2n croît lentement
3.Structures de donnéesMoyen

Quel est le coût de l'insertion d'un élément au milieu d'un tableau de n éléments ?

  1. AO(n), car les éléments suivants doivent être décalés
  2. BO(n²), car chaque élément se déplace n fois
  3. CO(1), car l'indice est connu
  4. DO(log n), grâce à la recherche dichotomique
4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

  1. ADes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
  2. BDes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales
  3. CDes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
  4. DLes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 14 sommets et 14 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 14|E| = 14
k =
6.Théorie des graphesDifficile
2028111841312ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet F. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Fk = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

La boucle intérieure s'exécute environ log₂ n fois pour chacune des n itérations extérieures, soit O(n log n).

Réponse

C · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

Pourquoi c'est la réponse

f = o(g) signifie que f(n) / g(n) tend vers 0 ; n / n² tend vers 0, mais n / n = 1 non.

Réponse

B · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)
3.Structures de données

Réponse: A · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés

Pourquoi c'est la réponse

Tous les éléments situés après le point d'insertion se décalent d'une position vers la droite, ce qui prend un temps proportionnel à n.

Réponse

A · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés
4.Structures de données

Réponse: A · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

A · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 1

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

14 − 1 = 13

Arêtes à retirer

k = 14 − 13 = 1

Réponse

k = 1
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. DF (4)
2. BD (11)
3. BC (8)
4. AC (2)
5. BE (12)

numéro de l’arête 3

BC

Réponse

arête BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms