Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron n
  2. BEnviron log₂ n
  3. CEnviron √n
  4. DEnviron n / 2
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

  1. ALes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme
  2. BLes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
  3. CUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
  4. DLes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la hauteur, dans le pire des cas, d'un arbre binaire de recherche à n nœuds si les clés sont insérées dans l'ordre trié ?

  1. Alog₂ n
  2. B√n
  3. Cn (il devient une liste chaînée)
  4. D1
4.Structures de donnéesDifficile

Dans une table de hachage à adressage ouvert, pourquoi la suppression se fait-elle souvent avec un marqueur « pierre tombale » (tombstone) ?

  1. AVider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
  2. BCela rend la table triée
  3. CLes clés supprimées doivent être conservées pour toujours pour des raisons de sécurité, si bien que les emplacements ne peuvent jamais être réutilisés
  4. DLes pierres tombales accélèrent le hachage
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 4, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 4
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de D et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

B · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
3.Structures de données

Réponse: C · n (il devient une liste chaînée)

Pourquoi c'est la réponse

Des insertions triées créent un arbre dégénéré de hauteur n, ce qui rend les recherches en O(n). Les arbres équilibrés évitent ce problème.

Réponse

C · n (il devient une liste chaînée)
4.Structures de données

Réponse: A · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

Pourquoi c'est la réponse

Si un emplacement supprimé devenait vide, les recherches ultérieures pourraient s'arrêter trop tôt et manquer des clés placées plus loin dans la chaîne de sondage.

Réponse

A · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Réponse

L = 8

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Réponse

N = 2

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