Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

  1. AL'algorithme de Kruskal
  2. BBellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
  3. CL'algorithme de Dijkstra
  4. DLe parcours en profondeur (DFS)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment se comparent n! et 2ⁿ pour n grand ?

  1. An! est O(n²)
  2. B2ⁿ croît plus vite que n!
  3. Cn! croît plus vite que 2ⁿ
  4. DIls croissent au même rythme
3.Structures de donnéesMoyen

Un réseau routier compte 100,000 carrefours, chacun relié à environ 4 autres. Quelle représentation est la plus adaptée ?

  1. AUne liste d'adjacence
  2. BUn tas binaire d'arêtes
  3. CUn unique tableau trié de sommets
  4. DUne matrice d'adjacence
4.Structures de donnéesDifficile

Un nœud AVL est déséquilibré parce que le sous-arbre droit de son enfant gauche est devenu trop haut (cas gauche-droite). Quelle correction applique-t-on ?

  1. AUne rotation à droite sur l'enfant gauche, puis une rotation à gauche sur le nœud
  2. BUne rotation simple à droite sur le nœud
  3. CUne rotation simple à gauche sur le nœud
  4. DUne rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
132018147216ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4.

départ : Bk = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

C · L'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · n! croît plus vite que 2ⁿ

Pourquoi c'est la réponse

Pour n ≥ 4, n! dépasse 2ⁿ, et le rapport croît sans borne car chaque facteur supplémentaire de n! est supérieur à 2.

Réponse

C · n! croît plus vite que 2ⁿ
3.Structures de données

Réponse: A · Une liste d'adjacence

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice nécessiterait 1010 cases, presque toutes vides ; une liste d'adjacence ne stocke qu'environ 400,000 entrées d'arêtes.

Réponse

A · Une liste d'adjacence
4.Structures de données

Réponse: D · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud

Pourquoi c'est la réponse

La première rotation transforme le cas gauche-droite en cas gauche-gauche, qu'une rotation à droite sur le nœud déséquilibré corrige ensuite.

Réponse

D · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. AB (13)
2. BD (14)
3. DE (2)
4. CE (7)

numéro de l’arête 4

CE

Réponse

arête CE

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