Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

AO(2ⁿ)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de Strassen multiplie des matrices en utilisant 7 au lieu de 8 multiplications récursives de blocs de taille moitié. Quel est son temps d'exécution ?

AΘ(n³)
BΘ(n² log n)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 7}), soit environ n^2,81

3.Structures de donnéesMoyen

Dans une file circulaire stockée dans un tableau de capacité n, comment calcule-t-on la position suivant l'indice i ?

A2i + 1
B(i + 1) mod n
C(i − 1) mod n
Di + 1

4.Structures de donnéesDifficile

Quel problème du sondage linéaire le double hachage réduit-il principalement ?

ALe besoin d'une fonction de hachage
BLe coût en O(n) de la lecture de la valeur d'une clé
CLe besoin de stocker les clés dans la table
DLe regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 7 sommets et 8 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 7|E| = 8

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

D · O(n)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n^{log₂ 7}), soit environ n^2,81

Pourquoi c'est la réponse

Avec a = 7 et b = 2, n^{log₂ 7} domine le travail d'addition en O(n²), ce qui donne environ n^2,81.

Réponse

D · Θ(n^{log₂ 7}), soit environ n^2,81

3.Structures de données

Réponse: B · (i + 1) mod n

Pourquoi c'est la réponse

L'opération modulo ramène l'indice n − 1 à 0, ce qui permet de réutiliser le tableau sans décaler les éléments.

Réponse

B · (i + 1) mod n

4.Structures de données

Réponse: D · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

Pourquoi c'est la réponse

Le sondage linéaire avance d'un pas de 1, donc les suites occupées grossissent et fusionnent ; le double hachage utilise un second hachage pour la taille du pas, si bien que des clés différentes sondent des séquences différentes.

Réponse

D · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

7 − 1 = 6

Arêtes à retirer

k = 8 − 6 = 2

Réponse

k = 2

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 10

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): C: 1

C (1): B: 6, E: 8

B (6): D: 21, G: 12

E (8): D: 10, F: 10, G: 9

G (9)

D (10)

F (10)

Plus court chemin

A → C → E → F

d(F) = 10

Réponse

d(F) = 10

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