Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n − 1) + O(n) ?

AO(n)
BO(2ⁿ)
CO(n log n)
DO(n²)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel algorithme trouve un arbre couvrant de poids minimal en ajoutant de façon répétée l'arête la moins coûteuse qui ne forme pas de cycle ?

AL'algorithme de Dijkstra
BFloyd-Warshall
CL'algorithme de Kruskal
DL'algorithme de Prim à partir d'un seul nœud

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?

AO(log n)
BO(1)
CO(n)
DO(n log n)

4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure de données permet un cache LRU (least recently used) avec get et put en O(1) ?

AUne table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
BUniquement une pile
CUn unique tableau trié
DUniquement un arbre binaire de recherche

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 9 sommets et 19 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 9|E| = 19

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le travail totalise environ n² / 2 ; c'est la récurrence du tri par sélection ou du tri rapide avec le pire pivot.

Réponse

D · O(n²)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · L'algorithme de Kruskal

Pourquoi c'est la réponse

Kruskal trie les arêtes par poids et les ajoute si elles relient des composantes différentes ; Prim fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ.

Réponse

C · L'algorithme de Kruskal

3.Structures de données

Réponse: A · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.

Réponse

A · O(log n)

4.Structures de données

Réponse: A · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

La table de hachage trouve les nœuds en O(1) et la liste doublement chaînée déplace les éléments consultés vers l'avant et évince par l'arrière en O(1).

Réponse

A · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

9 − 1 = 8

Arêtes à retirer

k = 19 − 8 = 11

Réponse

k = 11

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 24

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8, C: 10

B (8): G: 18

C (10): E: 16, G: 12

G (12): D: 23, E: 14

E (14): F: 25

D (23): F: 24

F (24)

Plus court chemin

A → C → G → D → F

d(F) = 24

Réponse

d(F) = 24

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