Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron n / 2
  2. BEnviron n
  3. CEnviron log₂ n
  4. DEnviron √n
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Un problème est NP-complet s'il :

  1. AEst hors de NP mais plus difficile que tous les problèmes NP, comme le problème de l'arrêt
  2. BEst résoluble en temps polynomial
  3. CAppartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
  4. DEst impossible à résoudre
3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi le parcours d'un tableau est-il souvent bien plus rapide en pratique que celui d'une liste chaînée de même longueur ?

  1. ALes éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
  2. BLes tableaux utilisent moins d'instructions pour comparer les valeurs
  3. CLe parcours d'un tableau est en O(1) au total, alors que celui d'une liste chaînée est en O(n)
  4. DLes listes chaînées stockent toujours leurs éléments sur disque
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les arbres B (B-trees) sont-ils utilisés dans les bases de données et les systèmes de fichiers ?

  1. AIls n'ont pas besoin de rééquilibrage
  2. BLeur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
  3. CIls utilisent moins de mémoire que n'importe quel tableau, si bien que tout l'index tient toujours en mémoire centrale
  4. DIls stockent les données sans les trier
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
21013136715107ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

C · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Les problèmes NP-complets sont les plus difficiles de NP ; un algorithme polynomial pour l'un d'eux en donnerait un pour tout NP.

Réponse

C · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: A · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur

Pourquoi c'est la réponse

La mémoire contiguë offre une bonne localité des références, alors que des nœuds chaînés peuvent être dispersés et provoquer de nombreux défauts de cache.

Réponse

A · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
4.Structures de données

Réponse: B · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres B stockent de nombreuses clés par nœud, donc la hauteur est faible et peu de lectures de blocs sont nécessaires par recherche ; les arbres B+ relient en plus les feuilles pour les parcours d'intervalles.

Réponse

B · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Sommets impairs

D, F → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 2, C: 10
2. B (2): D: 15, G: 17
3. C (10)
4. D (15): E: 21, F: 22
5. G (17)
6. E (21)
7. F (22)

tour 4

D

Réponse

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms