Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une table remplie de bas en haut ?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une boucle qui ne conserve que les deux dernières valeurs ?

  1. AO(log n) en temps et O(n) en espace
  2. BO(n) en temps et O(n) en espace
  3. CO(n) en temps et O(1) en espace
  4. DO(2ⁿ) en temps et O(1) en espace
3.Structures de donnéesMoyen

Une table de hachage de taille 7 utilise h(k) = k mod 7 et le sondage linéaire. Après l'insertion de 10, où est stocké 17 ?

  1. AÀ l'indice 6
  2. BÀ l'indice 0
  3. CÀ l'indice 4
  4. DÀ l'indice 3
4.Structures de donnéesDifficile

Quel problème du sondage linéaire le double hachage réduit-il principalement ?

  1. ALe besoin d'une fonction de hachage
  2. BLe coût en O(n) de la lecture de la valeur d'une clé
  3. CLe besoin de stocker les clés dans la table
  4. DLe regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 6 sommets et 6 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 6|E| = 6
k =
6.Théorie des graphesDifficile
3211591515510ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Remplir la table de 0 à n demande une addition par entrée : le travail est linéaire au lieu d'exponentiel.

Réponse

A · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n) en temps et O(1) en espace

Pourquoi c'est la réponse

Chaque étape n'a besoin que des deux valeurs précédentes : la table de la méthode ascendante peut donc être remplacée par deux variables.

Réponse

C · O(n) en temps et O(1) en espace
3.Structures de données

Réponse: C · À l'indice 4

Pourquoi c'est la réponse

10 mod 7 = 3 et 17 mod 7 = 3 ; l'indice 3 est occupé, le sondage linéaire essaie donc la case suivante, l'indice 4.

Réponse

C · À l'indice 4
4.Structures de données

Réponse: D · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

Pourquoi c'est la réponse

Le sondage linéaire avance d'un pas de 1, donc les suites occupées grossissent et fusionnent ; le double hachage utilise un second hachage pour la taille du pas, si bien que des clés différentes sondent des séquences différentes.

Réponse

D · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 1

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

6 − 1 = 5

Arêtes à retirer

k = 6 − 5 = 1

Réponse

k = 1
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 16

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 2
C (2): E: 7, G: 17
B (3): D: 14
E (7): F: 16
D (14)
F (16)
G (17)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 16

Réponse

d(F) = 16

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