Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La borne inférieure du tri par comparaisons dans le pire cas est :

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

22n est-il dans O(2ⁿ) ?

  1. ANon, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
  2. BNon, car 22n croît plus lentement que 2ⁿ
  3. COui, car les deux sont exponentiels
  4. DOui, car les facteurs constants dans l'exposant sont toujours ignorés en grand O
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe sondage linéaire (linear probing)
  2. BLe double hachage (double hashing)
  3. CLe chaînage séparé (separate chaining)
  4. DLe sondage quadratique (quadratic probing)
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de Fenwick (binary indexed tree) sur un tableau de n nombres permet quelles opérations en O(log n) ?

  1. ALa recherche de la médiane en O(1)
  2. BLes requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
  3. CLe tri du tableau et la recherche dichotomique
  4. DL'insertion d'éléments à n'importe quelle position
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
7151191816620145ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Ω(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Tout tri par comparaisons nécessite au moins log₂(n!) ≈ n log n comparaisons dans le pire cas. Le tri par dénombrement fait mieux car il n'effectue pas de comparaisons.

Réponse

B · Ω(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Non, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

Pourquoi c'est la réponse

Une constante ajoutée à l'exposant donne un facteur constant, mais une constante qui multiplie l'exposant change la base et le taux de croissance.

Réponse

A · Non, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
3.Structures de données

Réponse: C · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

C · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: B · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de Fenwick stocke des sommes partielles sur des intervalles déterminés par les bits de poids faible de chaque indice, donc les sommes préfixes comme les mises à jour ponctuelles prennent O(log n).

Réponse

B · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 53

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GE (5): prise
EF (6): prise
AB (7): prise
CE (9): prise
BD (11): prise
GC (14): sautée, ferme un cycle
AC (15): prise

Poids total

W = 5 + 6 + 7 + 9 + 11 + 15 = 53

Réponse

W = 53

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