Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

ANon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
BOui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
COui, mais seulement si n est inférieur à 100
DNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi la recherche dichotomique ne s'exécute-t-elle pas en O(log n) sur une liste simplement chaînée ?

ALes comparaisons sur les nœuds d'une liste chaînée sont plus lentes
BLes listes chaînées ne peuvent pas être triées
CLa recherche dichotomique nécessite au moins deux fois plus de mémoire
DAtteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la valeur de l'expression postfixée 3 4 + 2 * ?

4.Structures de donnéesDifficile

La structure union-find (ensembles disjoints) avec union par rang et compression de chemin a un coût amorti par opération de :

AExactement O(log n)
BO(α(n)), l'inverse de la fonction d'Ackermann, pratiquement constant
CO(n²)
DO(n)

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 7

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 3

1arête AB
2arête AC
3arête BD
4arête CE
5arête DE
6arête DF
7arête EF
8arête GB
9arête GC
10arête GD

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

B · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

Pourquoi c'est la réponse

La recherche dichotomique nécessite un accès en O(1) au milieu ; sur une liste chaînée, s'y rendre coûte un temps linéaire, si bien que le total est O(n).

Réponse

D · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

3.Structures de données

Réponse: D · 14

Pourquoi c'est la réponse

On empile 3 et 4, + donne 7 ; on empile 2, * donne 7 × 2 = 14.

Réponse

D · 14

4.Structures de données

Réponse: B · O(α(n)), l'inverse de la fonction d'Ackermann, pratiquement constant

Pourquoi c'est la réponse

Avec les deux optimisations, les opérations prennent un temps amorti O(α(n)) ; α(n) ≤ 4 pour tout n réaliste.

Réponse

B · O(α(n)), l'inverse de la fonction d'Ackermann, pratiquement constant

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Sommets impairs

A, B, C, D, F, G → 6

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. GB (1)

2. GC (3)

3. CE (7)

4. EF (9)

5. BD (10)

6. AC (17)

numéro de l’arête 3

Réponse

arête CE

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