Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel espace de pile utilise une fonction factorielle récursive simple fact(n) = n × fact(n − 1) ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Un problème est NP-complet s'il :

  1. AAppartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
  2. BEst impossible à résoudre
  3. CEst résoluble en temps polynomial
  4. DEst hors de NP mais plus difficile que tous les problèmes NP, comme le problème de l'arrêt
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours postfixe ?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D5 4 3 2 1
4.Structures de donnéesDifficile

Sans union par rang ni compression de chemin, quel est le coût dans le pire cas d'une seule opération find dans une structure union-find à n éléments ?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
620811597ABCDE

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La récursion atteint une profondeur de n appels avant tout retour, et chaque appel nécessite un cadre de pile : elle utilise donc un espace O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Les problèmes NP-complets sont les plus difficiles de NP ; un algorithme polynomial pour l'un d'eux en donnerait un pour tout NP.

Réponse

A · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: C · 4 5 2 3 1

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours postfixe traite 4 et 5 avant 2, puis 3, et enfin la racine 1.

Réponse

C · 4 5 2 3 1
4.Structures de données

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Des unions naïves peuvent relier les arbres en une longue chaîne, donc find peut suivre n − 1 pointeurs vers le parent ; les deux heuristiques le rendent presque constant.

Réponse

A · O(n)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Réponse

L = 11

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 27

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

CE (5): prise
AB (6): prise
BE (7): prise
BC (8): sautée, ferme un cycle
DE (9): prise

Poids total

W = 5 + 6 + 7 + 9 = 27

Réponse

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms