Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi de nombreuses routines de tri des bibliothèques passent-elles au tri par insertion pour les très petits sous-tableaux ?

  1. ALe tri par insertion est en O(n log n) dans le pire cas
  2. BLes algorithmes récursifs ne peuvent pas traiter les tableaux de moins de 10 éléments
  3. CLe tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
  4. DLe tri par insertion utilise moins de mémoire que tout autre algorithme de tri sur les grandes entrées
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de programmation dynamique de Held-Karp résout exactement le problème du voyageur de commerce. Quel est son temps d'exécution pour n villes ?

  1. AO(n!)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la hauteur, dans le pire des cas, d'un arbre binaire de recherche à n nœuds si les clés sont insérées dans l'ordre trié ?

  1. Alog₂ n
  2. Bn (il devient une liste chaînée)
  3. C√n
  4. D1
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
589114124111411139ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 6 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées

Pourquoi c'est la réponse

Pour n petit, la simple boucle du tri par insertion bat le surcoût de récursion du tri rapide ou du tri fusion, bien qu'elle soit en O(n²).

Réponse

C · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n² 2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a environ n 2ⁿ états, chacun calculé en O(n) ; c'est exponentiel mais bien plus rapide que d'essayer les (n − 1)! tournées possibles.

Réponse

C · O(n² 2ⁿ)
3.Structures de données

Réponse: B · n (il devient une liste chaînée)

Pourquoi c'est la réponse

Des insertions triées créent un arbre dégénéré de hauteur n, ce qui rend les recherches en O(n). Les arbres équilibrés évitent ce problème.

Réponse

B · n (il devient une liste chaînée)
4.Structures de données

Réponse: D · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

D · O(V²)
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Sommets impairs

B, C, D, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: G

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 5, C: 8
2. B (5): D: 16, G: 19
3. C (8): E: 12
4. E (12): F: 23
5. D (16): F: 20
6. G (19)
7. F (20)

tour 6

G

Réponse

G

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